Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+2x-2）•e^x，x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有兩個不同的實數(shù)根，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=（x²+4x）•e^x，令f'（x）=0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極值．
（Ⅱ）作出大致圖象，問題“方程f（x）=m有兩個不同的實數(shù)根”轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+2x-2）•e^x，x∈R，
∴f'（x）=（2x+2）•e^x+（x²+2x-2）•e^x=（x²+4x）•e^x…（2分）
令f'（x）=0，解得x₁=-4或x₂=0，列表如下…（4分）

x	（-∞，-4）	-4	（-4，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

由表可得當x=-4時，函數(shù)f（x）有極大值f（-4）=6e^-4；
當x=0時，函數(shù)f（x）有極小值f（0）=-2；…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及當x→-∞，f（x）→0；x→+∞，f（x）→+∞
大致圖象為如圖（大致即可）
問題“方程f（x）=m有兩個不同的實數(shù)根”轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點，…（10分）
故實數(shù)m的取值范圍為[-2，0]∪{6e^-4}．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的極值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．