Question

如圖，在多面體EFABCD中，底面正方形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點O，且AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．
（1）在平面ADEF內(nèi)是否存在一點M，使OM∥平面CDE？若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由；
（2）求直線EC與平面BDE所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）當(dāng)點M為AE的中點時，由于O為正方形ABCD的中心，可得OM為△AEC的中位線，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到此時OM∥平面CDE；
（2）連接EO，可得∠CEO為EC與平面BDE所成的角，解三角形CEO，可得答案．

解答： 解：（1）存在點M，且點M為AE的中點時，有OM∥平面CDE------（1分）
證明：當(dāng)點M為AE的中點時，由于O為正方形ABCD的中心--------（2分）
∴OM為△AEC的中位線--------（3分）
∴OM∥CE
又∵OM?平面CDE，CE?平面CDE-------（4分）
∴OM∥平面CDE--------（5分）
（2）連接EO，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC--------（6分）
∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF----------（7分）
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC，
又∵BD，DE在平面BDE內(nèi)，且相交于點D，
∴AC⊥平面BDE----------（9分）
∴∠CEO為EC與平面BDE所成的角----------（10分）
由已知可得，EC=2

2

，CO=

2

------------（11分）
∴sin∠CEO=

1

2

，
∴∠CEO=30°------------（12分）
所以直線EC與平面BDE所成的角為30°-------------（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的解，直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，是空間線面關(guān)系的判定與應(yīng)用，難度中檔．