Question

已知函數f（x）=lnx+x²+ax
（1）當a=-3時，求函數y=f（x）的極值點；
（2）當a=-4時，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求出導函數，令導數值為0，求出x的值，代入驗證極值點左右兩邊的導數符號是否相反．
（2）把a=-4代入，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點的個數即可，求導數可知g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調遞增的函數，結合零點的存在性定理可得結論

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²+ax
∴f′（x）=

1

x

+2x-3
令f′（x）=0則x=1或

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）單增，在（

1

2

，1）單減，
∴f（x）的極大值點x=

1

2

，極小值點x=1；
（2）當a=-4時，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，
只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點的個數即可，
由g′（x）=

1

x

+4x-4=

(2x-1)2

x

在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調遞增的函數，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恰有1個零點

點評：利用導數求函數的極值問題，要注意極值點處的導數為0是函數有極值的必要不充分條件．