Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的兩個(gè)實(shí)根．
（Ⅰ）求a₂，b₁；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若c_n=

bn

，A_n是{c_n}前n項(xiàng)和，B_n=

n2-1

2

，當(dāng)n∈N₊時(shí)，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)能求出a₂，b₁的值．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列，分別寫(xiě)出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)和通項(xiàng)公式，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）此題的關(guān)鍵是求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，求出這個(gè)通項(xiàng)公式后利用基本不等式能推導(dǎo)出A_n＜B_n．

解答： 解：（1）∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，
log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴l(xiāng)og₃a_n+log₃a_n+1=2n-1，log₃a_n•log₃a_n+1=b_n，
∴a_na_n+1=3^2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁a₂=3，∵a₁=1，∴a₂=3．
∴b₁=log₃a₁•log₃a₂=log₃1•log₃3=0．
（Ⅱ）∵

an+1an+2

anan+1

=

32n+1

32n-1

=9，∴

an+2

an

=9，
∴{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列，
∴a_2k-1=a1•9k-1=3^2k-2，
a_2k=a2•9k-1=3^2k-1，（k∈N^*）
∴a_n=

3n-1，n為奇數(shù) 3n-1，n為偶數(shù)

=3^n-1，n∈N^*．
（Ⅲ）∵b_n=log₃a_n•log3 an+1 =（n-1）n，n∈N^*，
∴cn=

n(n-1)

，
當(dāng)n=1時(shí)，A₁=c₁=0，B1 =0，A₁=B₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=

n(n-1)

＜

2n-1

2

，
An＜0+

3

2

+

5

2

+…+

2n-1

2

=

n2-1

2

=B_n．
綜上，當(dāng)n=1時(shí)，A_n=B_n；當(dāng)n≥2時(shí)，A_n＜B_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查前n項(xiàng)和的比較，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．