Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx+1（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，求實數(shù)b的值；
（2）若b=0，h（x）=f（x）-g（x），?x₁、x₂[1，2]使得h（x₁）-h（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（3）當(dāng)b≥2時，若對于區(qū)間[1，2]內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程，再有直線與曲線的相切關(guān)系，聯(lián)立方程組求出b的值；
（2）根據(jù)題意求滿足條件的最大整數(shù)M，轉(zhuǎn)化為求h（x）的最值解決，即只要使得M≤h（x）_max-h（x）_min即可；
（3）先利用導(dǎo)數(shù)法判斷f（x）與g（x）的增減性，把|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價轉(zhuǎn)化為f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），等價于f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂）成立，再構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x），即等價于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-bx+1 在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合不等式恒成立的條件，求得b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，----------------（2分）
∵直線y=x-1與函數(shù)g（x）的圖象相切，由

y=x-1 y= 1 2 x2-bx+1

 消去y得x²-2（b+1）x+4=0，
則△=4（b+1）²-16=0，解得b=1或-3--------------------------------------（4分）
（2）當(dāng)b=0時，∵h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

x2-1 （x∈[1，2]），
∴h′（x）=

1

x

-x=

(1-x)(1+x)

x

，----------------------------------------------（5分）
當(dāng)x∈（1，2]時，h′（x）＜0，∴在[1，2]上單調(diào)遞減，
h（x）_max=h（1）=-

3

2

，h（x）_min=h（2）=ln2-3，-----------------------------------（7分）
則[h（x₁）-h（x₂）]_max=h（x）_max-h（x）_min=

3

2

-ln2，
∴M≤

3

2

-ln2＜1，故滿足條件的最大整數(shù)是M=0．------------------------------（9分）
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，∵函數(shù)f（x）=lnx在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，∴f（x₁）＞f（x₂），
∵函數(shù)g（x）圖象的對稱軸為x=b，且b≥2，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴g（x₁）＜g（x₂），------------------------------------------------------（10分）
∴|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），----------------------------------（11分）
等價于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-bx+1 在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
等價于φ′（x）=

1

x

+x+b≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，---------------------------（12分）
等價于b≤x+

1

x

在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴b≤2，又b≥2，∴b=2．------------------------------------------------（14分）

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，
掌握不等式恒成立時所取的條件．理解等價轉(zhuǎn)化思想的運用．