【題目】已知函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

【答案】(1) 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), 在與上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)求導(dǎo)得,再將看成關(guān)于的二次函數(shù),根據(jù)判別式分析二次函數(shù)的零點(diǎn)在判斷的正負(fù)區(qū)間與的單調(diào)性即可.

(2)由(1)可設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn),再根據(jù)(1)中所得的單調(diào)區(qū)間,分別代入證明即可.

(1)因?yàn)?/span>,故.

設(shè)函數(shù),令,則討論.

①當(dāng),即時(shí), 恒成立,則,單調(diào)遞減.

②當(dāng),即時(shí),令則兩根

,且,此時(shí)的兩根

.

故在與上, ,單調(diào)遞減；

在上, ,單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), 在與上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

(2)由(1) 若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,即的兩根.不妨設(shè).

①先證,即.由(1)可知, 在上, 單調(diào)遞增,故顯然成立.

②再證,即,

即證.

又,故,

即證,顯然成立.

故

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為

（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

（2）若B是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，G為線段的中點(diǎn).求點(diǎn)G到直線l的距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求，的極坐標(biāo)方程；

（2）射線l的極坐標(biāo)方程為，若l分別與，交于異于極點(diǎn)的，兩點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國(guó)人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭(zhēng)中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫(kù)存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī)，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫(kù)存的醫(yī)用防護(hù)物資，得知消息后，立即決定無(wú)償捐贈(zèng)這批醫(yī)用防護(hù)物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車，通過(guò)這兩條路線從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時(shí)間（單位：小時(shí)）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資，來(lái)確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān)，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立，互不影響）：

到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x（單位：小時(shí)）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬(wàn)元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬(wàn)元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運(yùn)輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動(dòng)中援助總額為Y（萬(wàn)元），求隨機(jī)變量Y的期望值，（援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極值A，函數(shù)，其中…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求m的值，并判斷A是的最大值還是最小值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，圓心，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)P滿足，，點(diǎn)P的軌跡為曲線M．

（1）求曲線M的方程．

（2）過(guò)點(diǎn)N的直線l分別交M于點(diǎn)A、B，交圓N于點(diǎn)C、D（自上而下），若、、成等差數(shù)列，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績(jī)將計(jì)入高考總成績(jī)，即“選擇考”成績(jī)根據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)高中2019年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2017年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2017年和2019年“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如圖表：

針對(duì)該校“選擇考”情況，2019年與2017年比較，下列說(shuō)法正確的是( )

A.獲得A等級(jí)的人數(shù)不變B.獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1倍

C.獲得C等級(jí)的人數(shù)減少了D.獲得E等級(jí)的人數(shù)不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，求直線的斜率.

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