Question

已知在△ABC中，AB=1，BC=x，AC=y，∠C=60°，求x²-y²的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由正弦定理知x=

2

3

×sinA，y=

2

3

×sin（60°+A），可得：x²-y²=-

2 3

3

sin（2A+60°），由0＜A＜120°，可得2A+60°∈（60°，300°），由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得x²-y²的最大值與最小值．

解答： 解：由正弦定理知，

1

sin60°

=

x

sinA

=

y

sinB

，A+B=180°-60°=120°，
所以，x=

2

3

×sinA，y=

2

3

×sin（120°-A）=

2

3

×sin（60°+A），
即有：x²=

4

3

sin²A，y²=

4

3

sin²（60°+A），
所以可得：x²-y²=

4

3

×[sinA+sin（60°+A）][sinA-sin（60°+A）]
=

4

3

×[2sin（a+30°）cos（-30°）][2cos（A+30°）sin（-30°）]
=-

2 3

3

sin（2A+60°）
∵0＜A＜120°，
∴2A+60°∈（60°，300°），
∴sin（2A+60°）的最小值是-1，最大值是1，
所以X²-Y²的最大值是

2 3

3

，最小值是-

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．