Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M為PB中點(diǎn)．
（1）證明：AB⊥CM；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出

AB

=（0，2，0），

CM

=（-1，0，

1

2

），可得

AB

•

CM

=0，即可得出結(jié)論；
（2）

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），利用向量的夾角公式，即可求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求出平面AMC、平面MCB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在的直線為x，y，z軸（如圖）建立空間直角坐標(biāo)系．由已知：A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，

1

2

）    …（2分）
∴

AB

=（0，2，0），

CM

=（-1，0，

1

2

），
∴

AB

•

CM

=0，
∴AB⊥CM…（4分）
（2）解：∵

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

2

2 • 5

=

10

5

，
∴AC，PB所成角的余弦值為

10

5

…（8分）
（3）解：設(shè)

n

=(x，y，z)為平面AMC的法向量，則：

n

•

AC

=(x，y，z)•(1，1，0)=x+y=0

n

•

AM

=(x，y，z)•(0，1，

1

2

)=y+

1

2

z=0，
取z=2，則y=-1，x=1，即：

n

=(1，-1，2)
同理可求得平面MCB的一個(gè)法向量為

m

=(1，1，2)…（10分）
∴cos＜

n

，

m

＞=

4

6 • 6

=

2

3

，
∴二面角A-MC--B所成角的余弦值為-

2

3

…（12分）

點(diǎn)評：本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．