（2011•自貢三模）己知函數(shù)f（x）=
x-4
x+1
（x≠-1）的反函數(shù)是f-1（x
），設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有{an}=
6f-1(Sn)-19
f-1(Sn)+1
成立，且bn=f-1（an）
（I）求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式
（II）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)是否存在使得Rn≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：
（III）記cn=b2n-b2n-1（n∈N），設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜
3
2
．
分析：（I）先根據(jù)題意求出an與Sn的關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)變形得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=-
1
4
，公比為q=-
1
4
的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N*），Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m+4n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N*），則Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1=8m-4=4n，從而對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有Rn＜4k則不存在正整數(shù)k，使得Rn≥4k成立；
（III）根據(jù)bn的通項(xiàng)公式，計(jì)算出cn的通項(xiàng)公式，再比較Tn與
3
2
的大�。�
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，f-1（x）=
x+4
1-x
(x≠1)，
于是由an=
6f-1(sn) -19
f-1(sn) +1
得，an=5Sn+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=5s1+1∴a1=-
1
4

又∵an=5sn+1an+1=5an+1+1∴an+1-an=5an+1
an+1
an
=-
1
4

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=-
1
4
，公比為q=-
1
4
的等比數(shù)列，∴an=(-
1
4
)n，
bn=
4+(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)n
（n∈N*）　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）不存在正整數(shù)k，使得Rn≥4k成立．
證明：由（I）知bn=
4+(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)n
=4+
5
(-4)n-1

∵b2k-1+b2k=8+
5
(-4)2k-1-1
+
5
(-4)2k-1
=8+
5
16k-1
-
20
16k+4
=8-
15×16k-40
(16k-1)(16k+4) 
＜8
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N*）
∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m+4n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N*）
∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1=8m-4=4n
∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有Rn＜4k∴不存在正整數(shù)k，使得Rn≥4k成立．　
（Ⅲ）∵cn=b2n-b2n-1=[4+
5
(-4)2n-1
]-[4+
5
(-4)2n-1-1
]=
5
16n-1
+
20
16n+4
=
25×16n
(16n-1)( 16n+4)
（n∈N），
又 b1=3，b2=
13
3
，∴c2=
4
3
，當(dāng)n=1時(shí)，T1＜
3
2
，
當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn＜
4
3
+25×(
1
162
+
1
163
+…+
1
16n
)=
4
3
+25×
1
162
[1-(
1
16
)n-2]
1-
1
16

＜
4
3
+25×
1
162
1-
1
16
=
69
48
＜
3
2
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用以及反函數(shù)和數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）把函數(shù)g（x）=sinx（x∈R）按向量
a
=（
π
2
，0）平移后得到函數(shù)f（x），下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）設(shè)A（x，1）、B （2，y）、C （4，5）為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿(mǎn)足條件：|
AB
+
OC
|=|
AB
-
OC
|的動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）函數(shù)f（x）=-x3-8x2-7x+5的圖象在X=-1處的切線(xiàn)斜率為k，則（2x-
12x
）k的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是
-20
-20
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）給出下列5個(gè)命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則有a1-c1=a2-c2；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線(xiàn)y=x上；
④若a∈（π，
5π
4
），則
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函數(shù)f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為2．
其中所有真命題的代號(hào)有
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）已知函數(shù)，y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）
（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、
31
27
，試求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)傾斜角為θ，當(dāng)0≤θ≤
π
4
．時(shí)，求a的取值范圍．

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