(2011•自貢三模)給出下列5個(gè)命題:
①0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示,“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓敘道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行,若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長,則有a1-c1=a2-c2
③y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象若相交,則交點(diǎn)必在直線y=x上;
④若a∈(π,
4
),則
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα
;
⑤函數(shù)f(x)=
e-x+3
e-x+2
(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為2.
其中所有真命題的代號有
②④
②④
分析:①利用二次函數(shù)的性質(zhì),由其在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù)解出參數(shù)的取值范圍,依據(jù)依據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可,
②由橢圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可,
③利用特例說明其不成立即可,如指數(shù)函數(shù)y=(
1
16
)x
的圖象與對數(shù)函數(shù)y=log
1
16
x
的圖象的交點(diǎn)有P(
1
2
,
1
4
),Q(
1
4
,
1
2
),就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn),由此可知原結(jié)論不正確,
④由a∈(π,
4
),可知0<tanα<1,可得(1-tanα)(1+tan)=1-tan2α<1,于是
1
1-tanα
>1+tanα;再根據(jù)均值不等式可得1+tanα>
2tanα
,
⑤由均值不等式可判斷出不存在實(shí)數(shù)x使得等號成立,故函數(shù)f(x)不存在最小值.
解答:解:對于①:函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù),若a=0時(shí)成立,若a>0時(shí),必有-
a-1
a
≥4
解得a≤
1
5
,故可得出0≤a≤
1
5
,由此知①中的條件與結(jié)論之間是充分不必要條件.故不是真命題;
②由橢圓的性質(zhì)知a1-Cl=a2-c2,即有a2+Cl=a1+c2,此四數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,由基本不等式得c1a2>a1c2,故是真命題;
③指數(shù)函數(shù)y=(
1
16
)x
的圖象與對數(shù)函數(shù)y=log
1
16
x
的圖象的交點(diǎn)有P(
1
2
,
1
4
),Q(
1
4
,
1
2
),就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn),故不是真命題;
④∵由a∈(π,
4
),可知0<tanα<1,可得(1-tanα)(1+tan)=1-tan2α<1,再根據(jù)均值不等式可得1+tanα>
2tanα
,則
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα
,故是真命題;
⑤由均值不等式函數(shù)f(x)=f(x)=
e-x+3
e-x+2
=
e-x+2
+
1
e-x+2
≥2
,由e-x+2=1知不存在實(shí)數(shù)x使得等號成立,故函數(shù)f(x)不存在最小值,故不是真命題.
故答案為:②④.
點(diǎn)評:本題作為一個(gè)判斷命題真假的題目,涉及到了函數(shù)的單調(diào)性橢圓的性質(zhì)等內(nèi)容,題目較難判斷,每一個(gè)知識點(diǎn)都是高考中比較重要的,從中總結(jié)下對命題的考試與這些知識的銜接.綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值,均值不等式,反函數(shù)等有關(guān)知識,對學(xué)生要求較高.屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)把函數(shù)g(x)=sinx(x∈R)按向量
a
=(
π
2
,0)平移后得到函數(shù)f(x),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)設(shè)A(x,1)、B (2,y)、C (4,5)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足條件:|
AB
+
OC
|=|
AB
-
OC
|的動(dòng)點(diǎn)(x,y)的軌跡方程為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)函數(shù)f(x)=-x3-8x2-7x+5的圖象在X=-1處的切線斜率為k,則(2x-
12x
k的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
-20
-20

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)已知函數(shù),y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(Ⅰ)要使f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),若函數(shù)f(x)的極小值和極大值分別為1、
31
27
,試求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅲ)若x∈[0,1]時(shí),y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線傾斜角為θ,當(dāng)0≤θ≤
π
4
.時(shí),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案