Question

已知函數(shù)f（x）=

xln(x-1)

x-2

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²+2x+3，證明：對任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），總存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先，利用導數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，然后，判斷函數(shù)的單調(diào)性進行求解，
（Ⅱ）則對任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），總存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）恒成立，等價于f（x）＞g（x）_min恒成立，然后，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

[xln(x-1)]′(x-2)-xln(x-1)

(x-2)2

=

-2ln(x-1)+x- x x-1

(x-2)2

設(shè)h(x)=-2ln(x-1)+x-

x

x-1

，
則h′(x)=

x2-3x+3

(x-1)2

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，又h（2）=0，
∴當x∈（1，2）時，h（x）＜0，
則f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，h（x）＞0，
則f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．
綜上知：f（x）在（1，2）單調(diào)遞減函數(shù)，
f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅱ）對任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），
總存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
等價于f（x）＞g（x）_min恒成立，而g（x）_min=2，
即證f（x）＞2恒成立．等價于

xln(x-1)

x-2

-2＞0，
也就是證 

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0                          
設(shè)G（x）=ln（x-1）+

4

x

-2，G′（x）=

1

x-1

-

4

x2

=

(x-2)2

(x-1)x2

≥0          
∴G（x） 在（1，+∞）單調(diào)遞增函數(shù)，又G（2）=0
∴當x∈（1，2）時，G（x）＜0，
則

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0
當x∈（2，+∞）時，G（x）＞0，
則 

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0
綜上可得：對任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），總存在x₂∈R，
使得f（x₁）＞g（x₂）

點評：本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，求導法則、求導公式及其運用，屬于中檔題，難度中等．