Question

已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P（

3

，3）．若函數(shù)f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（1）求f（x）的表達(dá)式及其最小正周期；
（2）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="xvhdqxn" class="MathJye">

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x+

π

2

）=g（x），且當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，g（x）=

1

2

-h（x），求函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）設(shè)（2）中所求得函數(shù)g（x），可使不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x對任意x∈[-

π

12

，0]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，可求得f（x）=2sin（2ωx+

π

3

），y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱⇒f（0）=f（π）⇒sin（2πω+

π

3

）=

3

2

，而ω∈（0，1），可求得ω=

1

6

，從而可得f（x）的表達(dá)式及其最小正周期；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得h（x）=2sin（2x-

π

3

），易知g（x）是以

π

2

為周期的函數(shù)，從而由當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，g（x）=

1

2

-h（x），即可求得函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式；
（3）令h（x）=2^x，不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x對任意x∈[-

π

12

，0]恒成立?g²（x）+4g（x）-a≥h（x）_max=h（0）=1恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤g²（x）+4g（x）-1（g（x）∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]）恒成立，從而可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意知，sinα=

3

( 3 )2+32

=

3

2

，cosα=

1

2

，
∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx
=

3

cos2ωx+sin2ωx
=2（

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx）
=2sin（2ωx+

π

3

），
又y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱，
∴f（0）=f（π），即2×

3

2

=2sin（2πω+

π

3

），
∴sin（2πω+

π

3

）=

3

2

，
∵ω∈（0，1），
∴

π

3

＜2πω+

π

3

＜

7π

3

，
∴2πω+

π

3

=

2π

3

，
解得：ω=

1

6

，
∴f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

），T=6π；
（2）將f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="auhdzyy" class="MathJye">

1

6

，得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

3

）的圖象，再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2x-

π

3

），
∵函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x+

π

2

）=g（x），
∴g（x）是以

π

2

為周期的函數(shù)，
又當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，g（x）=

1

2

-h（x）=

1

2

-2sin（2x-

π

3

），
∴當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+

π

2

）=

1

2

-2sin[2（x+

π

2

）-

π

3

]=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）；
當(dāng)x∈∈[-π，-

π

2

]時，x+π∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+π）=

1

2

-2sin[2（x+π）-

π

3

]=

1

2

-2sin（2x-

π

3

），
∴g（x）=

1 2 -2sin(2x- π 3 )，x∈[-π，- π 2 ] 1 2 -2sin(2x+ 2π 3 )，x∈[- π 2 ，0]

；
（3）令h（x）=2^x，則h（x）=2^x為增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-

π

12

，0]時，h（x）_max=h（0）=1，
∴不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x對任意x∈[-

π

12

，0]恒成立?g²（x）+4g（x）-a≥h（x）_max=h（0）=1恒成立，
∴a≤g²（x）+4g（x）-1．
∵當(dāng)x∈[-

π

12

，0]時，g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

），
由2x+

2π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]知，

3

≤2sin（2x+

2π

3

）≤2，-

3

2

≤

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）≤

1

2

-

3

，
即x∈[-

π

12

，0]時，g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]，
令t=g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

），則t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]，
∴a≤g²（x）+4g（x）-1轉(zhuǎn)化為：a≤t²+4t-1=（t+2）²-5（t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]）恒成立；
令k（t）=（t+2）²-5（t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]），
則k（t）=（t+2）²-5在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

-

3

]上單調(diào)遞增，
∴k（t）_min=k（-

3

2

）=-

19

4

．
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

19

4

]．

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)的周期性與單調(diào)性，考查函數(shù)解析式的確定與函數(shù)恒成立問題，考查抽象思維與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．