Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線與，切點(diǎn)分別為，求證：直線恒過某一定點(diǎn)；

（Ⅲ）分析（Ⅱ）的條件和結(jié)論，反思其解題過程，再對(duì)命題（Ⅱ）進(jìn)行變式和推廣．請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分）．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）直線恒過定點(diǎn); （Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意可設(shè)拋物線的方程為：（）．由焦點(diǎn)為可知，所以．即可求出拋物線的方程.（Ⅱ）方法一：設(shè)切點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，由（Ⅰ）知，．

則切線的斜率分別為，故切線的方程分別為，， 聯(lián)立以上兩個(gè)方程，得的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，所以，即．設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，可得直線恒過定點(diǎn)． 方法二：設(shè)切點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，設(shè)，

易知直線斜率必存在，可設(shè)過點(diǎn)的切線方程為．

由，消去并整理得 因?yàn)榍芯�與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以， 可得， 假設(shè)存在一定點(diǎn)，使得直線恒過該定點(diǎn)，則由拋物線對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為， 則．又，可得，所以直線過定點(diǎn)． （Ⅲ）根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）依題意可設(shè)拋物線的方程為：（）． 1分

由焦點(diǎn)為可知，所以． 2分

所以所求的拋物線方程為． 3分

（Ⅱ）方法一：

設(shè)切點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，由（Ⅰ）知，．

則切線的斜率分別為，

故切線的方程分別為，， 4分

聯(lián)立以上兩個(gè)方程，得.故的坐標(biāo)為， 5分

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，所以，即． 6分

設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，

所以，即，所以． 7分

故的方程為，故直線恒過定點(diǎn)． 8分

方法二：設(shè)切點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，設(shè)，

易知直線斜率必存在，可設(shè)過點(diǎn)的切線方程為．

由，消去并整理得． ①

因?yàn)榍芯�與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，整理得， ②

所以直線斜率為方程②的兩個(gè)根，故， 4分

另一方面，由可得方程①的解為，

所以． 5分

假設(shè)存在一定點(diǎn)，使得直線恒過該定點(diǎn)，則由拋物線對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在軸

上，設(shè)該定點(diǎn)為， 6分

則．

所以，

所以，整理得

所以，

所以 7分

所以直線過定點(diǎn)． 8分

（Ⅲ）結(jié)論一：若點(diǎn)為直線（）上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線（）的切線，切點(diǎn)分別為，則直線恒過定點(diǎn)． 12分

結(jié)論二：過點(diǎn)（）任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為切點(diǎn)作該拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)必在定直線上． 12分

結(jié)論三：已知點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，若過點(diǎn)可以作兩條直線與拋物線（）相切，切點(diǎn)分別為，則直線恒過定點(diǎn)． 12分.

考點(diǎn)：1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.