Question

已知圓P：x²+y²=4y及拋物線S：x²=8y，過(guò)圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自左向右順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線l的斜率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用圓的方程求得其圓心坐標(biāo)和直徑，利用拋物線方程求得其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，發(fā)現(xiàn)圓心和焦點(diǎn)重合，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得A，D橫坐標(biāo)的和，進(jìn)而求得其縱坐標(biāo)的和，利用拋物線定義表示出AD的長(zhǎng)度，根據(jù)已知三線段長(zhǎng)度呈等差數(shù)列，建立等式最后求得k的值．

解答：
解：依題意圓的方程為x²+（y-2）²=4，
∴圓的直徑|BC|=4，圓心為（0，2），
如圖顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
設(shè)直線方程為y=kx+2，代入拋物線方程得，
x²=8y=8kx+16，即x²-8kx-16=0，
∴x_A+x_D=8k，
∴y_A+y_D=8k²+4，
∵拋物線方程為x²=8y，
∴拋物線焦點(diǎn)為（0，2），即直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，
∴|AD|=y_A+y_D+4=8k²+8，
∵AB，BC，CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，
∴3|BC|=|AD|
∴8k²+8=12，即k²=

1

2

，
∴k=±

2

2

，
故答案為：±

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系．一般是設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線定義解決問(wèn)題．