已知函數(shù)f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x
,
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求f(x)的極大值;
(Ⅱ)當(dāng)m>0時(shí),討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.
分析:(Ⅰ)m=2時(shí),求出f′(x),f(x)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)極值定義可求得極值;
(Ⅱ)求出f′(x),然后解含參數(shù)的不等式f′(x)>0,f′(x)<0,注意討論m的范圍.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
當(dāng)m=2時(shí),f(x)=
5
2
lnx+
1
x
-x,
f′(x)=
5
2x
-
1
x2
-1=
-(2x-1)(x-2)
2x2

當(dāng)0<x<
1
2
時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)
1
2
<x<2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=2時(shí)f(x)取得極大值f(2)=
5
2
ln2-
3
2

(Ⅱ)f′(x)=
m2+1
mx
-
1
x2
-1=
-(mx-1)(x-m)
mx2
=
-(x-
1
m
)(x-m)
x2

①若0<m<1,則0<m<1<
1
m
.當(dāng)0<x<m時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)m<x<1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
②若m=1,f′(x)=
-(x-1)2
x2
<0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
③若m>1,則0<
1
m
<1<m,當(dāng)0<x<
1
m
時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)
1
m
<x<1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
綜上,當(dāng)0<m<1時(shí),f(x)在(0,m)上是減函數(shù),在(m,1)上是增函數(shù);
當(dāng)m=1時(shí),f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
當(dāng)m>1時(shí),f(x)在(0,
1
m
)上是減函數(shù),在(
1
m
,1)上是增函數(shù).
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值以及含參數(shù)的不等式的求解,本題滲透了分類討論思想.
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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