Question

（本題10分）無論為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).

（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；

（2）若直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，整理方程為，直線與雙曲線恒有交點(diǎn)，則恒成立，但需考慮的情況是否符合題意；（2）設(shè)出過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用兩個(gè)向量坐標(biāo)的關(guān)系，可得，根據(jù)，可得

試題解析：（1）聯(lián)立，得，

即

當(dāng)時(shí)，，直線與雙曲線無交點(diǎn)，矛盾

所以．所以．

因?yàn)橹本�與雙曲線恒有交點(diǎn)，恒成立

即.所以，所以，

綜上．

（2）,直線：，

，

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030915024452131072/SYS201503091502486621434148_DA/SYS201503091502486621434148_DA.025.png">，所以，整理得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030915024452131072/SYS201503091502486621434148_DA/SYS201503091502486621434148_DA.027.png">，所以，，所以

所以雙曲線.

考點(diǎn)：1、雙曲線的幾何性質(zhì)；2、直線與雙曲線的相交問題.