Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x）和常數(shù)C，若對任意正實數(shù)ε，?x∈D，使得0＜|f（x）-C|＜ε恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）為“斂C函數(shù)”．現(xiàn)給出如下函數(shù)：
①f（x）=x（x∈Z）； 
②f（x）=（

1

3

）^x+1（x∈Z）；
③f（x）=log₃x； 
④f（x）=

x-1

x

．
其中為“斂1函數(shù)”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、②④
• D、①②③

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，“斂1函數(shù)”滿足對任意正實數(shù)ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立，即使得|f（x）-1|∈R⁺，對選項進行驗證即可．

解答： 解：由題意可得，“斂1函數(shù)”滿足對任意正實數(shù)ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立，即使得|f（x）-1|∈R⁺，
①f（x）=x（x∈Z），則|f（x）-1|≥1，所以不滿足“斂1函數(shù)”的定義； 
②f（x）=（

1

3

）^x+1，則|f（x）-1|=|（

1

3

）^x|∈R⁺，滿足對任意正實數(shù)ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立；
③f（x）=log₃x，則|f（x）-1|=|log₃x-1|≥0，所以不滿足“斂1函數(shù)”的定義； 
④f（x）=

x-1

x

，則|f（x）-1|=|

1

x

|∈R⁺，滿足對任意正實數(shù)ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立．
故選：D．

點評：本題利用新定義，考查函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解“斂1函數(shù)”，利用使得|f（x）-1|∈R⁺進行驗證．