Question

如圖，直線l⊥x軸，從原點開始向右平行移動到x=8處停止，它掃過△AOB所得圖形的面積為S，它與x軸的交點為（x，0）．
（1）求函數(shù)S=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)S=f（x）的定義域、值域；
（3）作函數(shù)S=f（x）的圖象．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)x的取值情況進行討論，然后，寫成分段函數(shù)的形式；
（2）根據(jù)（1），借助于函數(shù)的單調性求解值域問題；
（3）結合分段函數(shù)的特點，按段作出它們的圖象．

解答： 解：（1）當0≤x≤4時，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
當4＜x≤8時，
s=f（x）=S_△OAB-

1

2

(8-x)2
=

1

2

×8×4-

1

2

(8-x)2
=16-

1

2

(x-8)2，
所以函數(shù)的解析式為：
s=f(x)=

1 2 x2    ， x∈[0，4] 16- 1 2 (x-8)2  ， x∈(4，8]

．
（2）根據(jù)（1），得到函數(shù)的定義域為[0，8]，
當0≤x≤4時，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
在[0，4]上為增函數(shù)，
所以，s∈[0，8]；
當4＜x≤8時，
s=f（x）=16-

1

2

(x-8)2，
在（4，8]為增函數(shù)，
∴s∈（8，16]，
綜上，函數(shù)的值域為[0，16]．
（3）函數(shù)圖象如下圖所示：

點評：本題重點考查分段函數(shù)的簡單應用，函數(shù)的單調性及其運用等知識，屬于中檔題，考查分類討論思想．