Question

已知：各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）（附加題）若a_n²=2^-b，設(shè)C_n=

bn

an

  求：數(shù)列{C_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題意以及等比數(shù)列的定義，判定數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出它的通項(xiàng)公式即可．

解答： 解：由題意知2a_n=S_n+

1

2

，（a_n＞0）；
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+

1

2

，
∴a₁=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

；
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，（n≥2）；
整理得：

an

an-1

=2，（n≥2）；
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
它的通項(xiàng)公式為a_n=a₁•2^n-1=

1

2

×2^n-1=2^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)等比數(shù)列的定義判定數(shù)列是否為等比數(shù)列，并且求出通項(xiàng)公式，是綜合題．