Question

已知函數(shù)f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，             x≥1

的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1）） 處的切線的斜率是-5．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依題意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．
（2）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

2

3

．列表討論，得f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．由此進行分類討論，能求出f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

解答：解：（1）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2x+b．…（2分）
依題意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）²+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）當x＜1時，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，有-3x²+2x=0，∴x=0，x=

2

3

．…（6分）

x	-1	（-1，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↘		↗		↘

…（8分）
f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．
∴當x∈[-1，1）時，f（x）最大值為2．…（9分）
當x∈[1，2]時，
當a＜0時，f（x）是減函數(shù)；當a=0時，f（x）=0，此時f（x）_max=0；…（10分）
當a＞0時，f（x）是增函數(shù)，f（x）_max=f（2）=aln2．…（11分）
∵當a≤

2

ln2

時，有2≥aln2，f（x）_max=2，
當a＞

2

ln2

時，有2＜aln2，f（x）_max=aln2．…（12分）
∴f(x)max=

2，(a≤ 2 ln2 ) aln2，(a＞ 2 ln2 )

．…（13分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程的求法，具體涉及到導數(shù)的應用、函數(shù)的性質(zhì)，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．易錯點是分類不清導致出錯．