Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，分別為，的中點．

（1）證明：平面；

（2）已知與平面所成的角為30°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）取中點，連接、，根據題目條件，利用線面垂直的判定定理，得出平面，由于為中點，，，可證出四邊形為平行四邊形，得出，從而可證出平面；

（2）設，，根據（1）可知，平面，則到平面距離，設到面距離為，根據三棱錐等體積法有，得，得，因為與平面所成的角為30°，可求出，結合線面垂直的判定定理證出平面，進而得出為二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值．

解：（1）取中點，連接、，

∵∴，

∵平面，平面，

∴，

而平面，平面，

∴平面，

∵為中點，∴，，

∴，，

∴四邊形為平行四邊形，∴．

∴平面．

（2）設，，

則，，，

∴

∴，，

到平面距離，設到面距離為，

由，得，

即，得，

因為與平面所成的角為30°，

所以，

而在直角三角形中，，

所以，解得．

因為平面，平面，

所以，

又平面，平面，所以，

所以平面，

∵平面，平面

所以為二面角的平面角，

而，

可得四邊形是正方形，所以，

則，

所以二面角的余弦值為．