【題目】

已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.

1)求曲線的方程;

2)曲線在點處的切線軸交于點.直線分別與直線軸交于點,以為直徑作圓,過點作圓的切線,切點為,試探究:當(dāng)點在曲線上運動(點與原點不重合)時,線段的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.

【答案】1.2)當(dāng)點P在曲線上運動時,線段AB的長度不變,證明見解析.

【解析】

試題(1)思路一:設(shè)為曲線上任意一點,

依題意可知曲線是以點為焦點,直線為準線的拋物線,

得到曲線的方程為.

思路二:設(shè)為曲線上任意一點,

,化簡即得.

2)當(dāng)點P在曲線上運動時,線段AB的長度不變,證明如下:

由(1)知拋物線的方程為,

設(shè),得,

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,確定切線的斜率,進一步得切線的方程為.

,得.

,得.

根據(jù),得圓心,半徑

由弦長,半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系,確定.

試題解析:解法一:(1)設(shè)為曲線上任意一點,

依題意,點S的距離與它到直線的距離相等,

所以曲線是以點為焦點,直線為準線的拋物線,

所以曲線的方程為.

2)當(dāng)點P在曲線上運動時,線段AB的長度不變,證明如下:

由(1)知拋物線的方程為,

設(shè),則,

,得切線的斜率

,

所以切線的方程為,即.

,得.

,得.

,所以圓心,

半徑,

.

所以點P在曲線上運動時,線段AB的長度不變.

解法二:

1)設(shè)為曲線上任意一點,

依題意,點只能在直線的上方,所以,

所以

化簡得,曲線的方程為.

2)同解法一.

練習(xí)冊系列答案
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,參考數(shù)值:.

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②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號是

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0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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