Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．設(shè)x=α?xí)rf（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=α-

π

12

，且sinBsinC=sin²A，求b-c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡利用x的范圍判斷出2x-

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值及α的值．
（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式轉(zhuǎn)化成變化的等式，進(jìn)而利用余弦定理求得b-c的值．

解答： 解：（1）依題f(x)=[1-cos(2x+

π

2

)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．
又x∈[

π

4

，

π

2

]，則

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
故當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

即x=α=

5π

12

時，f（x）_max=3．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A即bc=a²，
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
則b²+c²-bc=bc即（b-c）²=0，
故b-c=0．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．是對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合考查．