Question

已知x，y滿足條件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，求：
（1）4x-3y的最大值和最小值；
（2）x²+y²的最大值和最小值；
（3）

y+8

x-5

的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)z=4x-3y，利用z的幾何意義的最大值和最小值；
（2）設(shè)z=x²+y²，利用z的幾何意義，即可最大值和最小值；
（3）設(shè)z=

y+8

x-5

，利用z的幾何意義最大值和最小值．

解答： 解：（1）不等式組

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

表示的公共區(qū)域如圖所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
設(shè)z=4x-3y，則y=

4

3

x-

z

3

，平移直線y=

4

3

x-

z

3

，
由圖象可知當(dāng)直線y=

4

3

x-

z

3

過C點(diǎn)時(shí)，直線y=

4

3

x-

z

3

的截距最大，此時(shí)z取得最小值．
當(dāng)直線y=

4

3

x-

z

3

過B直線y=

4

3

x-

z

3

的截距最小，z取得最大值．．
∴將B（-1，-6），代入z=4x-3y得最大值z=4×（-1）-3×（-6）=14，
將C（-3，2），代入z=4x-3y得最小值，
即z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的取值范圍．
由圖象可知z的最小值為0，C點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為OC=

(-3)2+22

=

9+4

=

13

，
A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OA=

42+1

=

17

，B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為OB=

(-1)2+(-6)2

=

37

，
∴B點(diǎn)距離原點(diǎn)遠(yuǎn)，
∴0≤z≤OA²，即0≤z≤37，
即x²+y²的最大值為37，最小值為0．（1）最小值為-18，最大值為14（2）最大值為37，最小值為0
（3）設(shè)z=

y+8

x-5

的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)E（5，-8）的斜率的取值范圍，
由圖象可知BE的斜率最大，此時(shí)最大值為k=

-8+6

5+1

=

-2

6

=-

1

3

，
AE的斜率最小，最小值為k=

-8-1

5-4

=-9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．