Question

已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列出方程組解出a，b的值，再通過討論從而確定a，b的值．

解答： 解：∵f（x）在x=-1時(shí)有極值0，
且f′（x）=3x²+6ax+b，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=0

，即

3-6a+b=0 -1+3a-b+a2=0

，
解得：

a=1 b=3

，或

a=2 b=9

，
當(dāng)a=1，b=3時(shí)，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去．
當(dāng)a=2，b=9時(shí)，
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
當(dāng)x∈（-∞，-3）時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-3，-1）時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
∴f（x）在x=-1時(shí)取得極小值．
∴a=2，b=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，是一道基礎(chǔ)題．