Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

，a∈R．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由x=2為極值點(diǎn)得f′（2）=0，可求a，切線斜率k=f′(1)=-

1

8

，切點(diǎn)為（1，0），由點(diǎn)斜式可求切線方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

(x+1)2-2ax

x(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

．
由題意知f′（2）=0，代入得a=

9

4

，經(jīng)檢驗，符合題意．
從而切線斜率k=f′(1)=-

1

8

，切點(diǎn)為（1，0），
∴切線方程為x+8y-1=0；
（2）f′(x)=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

．
∵f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

即x2+(2-2a)x+1≥0在(0，+∞)上恒成立. 當(dāng)x∈(0，+∞)時，由x2+(2-2a)x+1≥0，得2a-2≤x+ 1 x . 設(shè)g(x)=x+ 1 x ，x∈(0，+∞)．g(x)=x+ 1 x ≥2 x• 1 x =2. 所以當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 x ，即x=1時，g(x)有最小值2.

∴2a-2≤2．∴a≤2．
∴a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想．