Question

已知函數(shù) f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（Ⅰ）若函數(shù) f（x）在x=2處有極值，求m 的值；
（Ⅱ）當(dāng) m≤0時(shí)，討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求證：當(dāng) m=-2時(shí)，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=x-

m

x

+m-1
∵函數(shù) f（x）在x=2處有極值∴f′(2)=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，經(jīng)檢驗(yàn)m=-2符合題意．∴m=-2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴（1）當(dāng)-1＜m≤0時(shí)，若x∈（0，-m）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）當(dāng)m＜-1即-m＞1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，-m）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅲ）當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x．
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，并求導(dǎo)得
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g(shù)（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）