考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由橢圓C:
+
=1,可得左、右兩個焦點分別為F
1(-1,0),F(xiàn)
2(1,0).設直線l的方程為my=x+1.與橢圓方程聯(lián)立消去x可得根與系數(shù)的關系,利用△ABF
2面積S=
|F1F2||y1-y2|可得關于m的表達式,再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.
解答:
解:由橢圓C:
+
=1,可得a
2=9,b
2=8,
c==1.
∴左、右兩個焦點分別為F
1(-1,0),F(xiàn)
2(1,0).
設直線l的方程為my=x+1.
聯(lián)立
,化為(9+8m
2)y
2-16my-64=0.
△>0,
∴y
1+y
2=
,y
1y
2=
.
∴|y
1-y
2|=
=
=
48.
∴△ABF
2面積S=
|F1F2||y1-y2|=
×2×48=48
,
令f(m)=
64(m2+1)+,1+m
2=t≥1.
g(t)=64t+
,
∵
g′(t)=64->0,
∴函數(shù)g(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當t=1時,g(t)取得最小值65.
即m=0時,f(m)取得最小值65.
∴△ABF
2面積S取得最大值
48×=
.
即當AB⊥x軸時,△ABF
2面積S取得最大值
.
點評:本題考查了焦點弦與三角形的面積最值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.