已知橢圓C:
x2
9
+
y2
8
=1的左、右兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作一直線交橢圓C于A,B兩點.求△ABF2面積的最大值.
考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由橢圓C:
x2
9
+
y2
8
=1,可得左、右兩個焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).設直線l的方程為my=x+1.與橢圓方程聯(lián)立消去x可得根與系數(shù)的關系,利用△ABF2面積S=
1
2
|F1F2||y1-y2|
可得關于m的表達式,再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.
解答: 解:由橢圓C:
x2
9
+
y2
8
=1,可得a2=9,b2=8,c=
a2-b2
=1.
∴左、右兩個焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).
設直線l的方程為my=x+1.
聯(lián)立
my=x+1
x2
9
+
y2
8
=1
,化為(9+8m2)y2-16my-64=0.
△>0,
∴y1+y2=
16m
9+8m2
,y1y2=
-64
9+8m2

∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
16m
9+8m2
)2+
256
9+8m2
=48
m2+1
(9+8m2)2

∴△ABF2面積S=
1
2
|F1F2||y1-y2|
=
1
2
×2×
48
m2+1
(9+8m2)2
=48
1
64(m2+1)+
1
1+m2
+16

令f(m)=64(m2+1)+
1
1+m2
,1+m2=t≥1.
g(t)=64t+
1
t

g(t)=64-
1
t2
>0,
∴函數(shù)g(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當t=1時,g(t)取得最小值65.
即m=0時,f(m)取得最小值65.
∴△ABF2面積S取得最大值48×
1
65+16
=
16
3

即當AB⊥x軸時,△ABF2面積S取得最大值
16
3
點評:本題考查了焦點弦與三角形的面積最值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓中心在原點一個焦點為F1(0.-2
2
)橢圓上的點到點F1的最短距離3-2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線l,使l與橢圓交于A、B,且線段AB恰好被直線x=-
1
2
平分,若存在,求出直線l的傾斜角α的取值范圍;若不存在請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

t取何值時,直線L1:(t-2)x+y+t=0與L2:3x+ty+t+6=0
(1)平行;
(2)相交;
(3)垂直.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓x2+y2=1,過這個圓上任意一點P作y軸的垂線段PD,D為垂足,求線段PD的中點M的軌跡.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足1=a1≤a2≤…≤an≤…,數(shù)列{bn}滿足bn=
an
an+1
1
an
-
1
an+1
),Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,證明:
(1)對于n∈N*,0≤Sn<2;
(2)對于任意c∈[0,2),存在數(shù)列{an}使關于n的不等式Sn>c有無數(shù)個解.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當x≠x0時,若
h(x)-g(x)
x-x0
>0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”,則f(x)=x2-6x+4lnx的“類對稱點”的橫坐標是( 。
A、1
B、
2
C、e
D、
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對任意x,y滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2,且f(1)≠0,則f(2013)=( 。
A、
2012
2
B、
2013
2
C、
2014
2
D、
2014
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
1
2
,求平面SCD的法向量.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}有a1=a,a2=p(常數(shù)p>0),對任意的正整數(shù)n,Sn=a1+a2+…+an,并有Sn滿足Sn=
n(an-a1)
2

(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)試確定數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列,若是,求出其通項公式,若不是,說明理由;
(Ⅲ)令pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
,Tn是數(shù)列{pn}的前n項和,求證:Tn-2n<3.

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