Question

設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點(diǎn)”，則f（x）=x²-6x+4lnx的“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、e
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,新定義,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)y=H（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）++x02-6x0+4lnx0．由此能推導(dǎo)出y=h（x）存在“類對稱點(diǎn)”，

2

是一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．

解答： 解：函數(shù)y=h（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為：
y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x₀²-6x₀+4lnx₀，
設(shè)m（x）=h（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）-x₀²+6x₀-4lnx₀，
則m（x₀）=0．
m′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

xx0

）=

2

x

（x-x₀）（x-

2

x0

）
若x₀＜

2

，φ（x）在（x₀，

2

x0

）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（x₀，

2

x0

）時，m（x）＜m（x₀）=0，此時

m(x)

x-x0

＜0；
若x₀＞

2

，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（

2

x0

，x₀）時，m（x）＞m（x₀）=0，此時

m(x)

x-x0

＜0；
∴y=h（x）在（0，

2

）∪（

2

，+∞）上不存在“類對稱點(diǎn)”．
若x₀=

2

，

2

x

（x-

2

）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x₀時，m（x）＞m（x₀）=0，
當(dāng)x＜x₀時，m（x）＜m（x₀）=0，故

m(x)

x-x0

＞0．
即此時點(diǎn)P是y=f（x）的“類對稱點(diǎn)”
綜上，y=h（x）存在“類對稱點(diǎn)”，

2

是一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點(diǎn)下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點(diǎn)”．解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，此題是難題．