Question

已知數(shù)列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常數(shù)p＞0），對(duì)任意的正整數(shù)n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n滿足S_n=

n(an-a1)

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）試確定數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）令p_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，T_n是數(shù)列{p_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n-2n＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）令n=1，結(jié)合條件，即可得到a；
（Ⅱ）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，并運(yùn)用累乘法，即可得到通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求出p_n，并化簡(jiǎn)拆成差的形式，再由裂項(xiàng)相消求和法，求出T_n，即可得證．

解答： （I）解：S1=a1=

a1-a1

2

=0，即a=0
（Ⅱ）解：n＞1時(shí)，an=Sn-Sn-1=

nan-(n-1)an-1

2

，
⇒an=

n-1

n-2

an-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

4

3

•

3

2

•

2

1

•a2=(n-1)p，對(duì)n=1，也成立．
∴{a_n}是一個(gè)以0為首項(xiàng)，p為公差的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

，
pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴p₁+p₂+…+p_n-2n=2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系式，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法：累乘法，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查裂項(xiàng)相消求和的方法，以及放縮法證明不等式，屬于中檔題．