對(duì)任意x，y滿足f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0，則f（2013）=（　�。�
A、
2012
2
B、
2013
2
C、
2014
2
D、
2014
2
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：由題意，令x=y=0得，f（0）=f（0）+2f2（0）可得f（0）=0，令x=0，y=1可得f（1）=
1
2
；令x=0可得f（y2）=2[f（y）]2，令x=y2，則f（2y2）=2f（y2）+2[f（y）]2=2f（y2）則f（2x）=2f（x）；從而求得
f（2）=2f（1）=1，f（3）=f（2+1）=f（2）+2[f（1）]2=1+
1
2
，迭代法求值．
解答： 解：∵f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+2f2（0），
∴f（0）=0，
令x=0，y=1，
則f（1）=f（0）+2[f（1）]2，
又∵f（1）≠0，
∴f（1）=
1
2
；
令x=0，
則f（y2）=2[f（y）]2，
令x=y2，則f（2y2）=2f（y2）+2[f（y）]2=2f（y2），
故f（2x）=2f（x）；
故f（2）=2f（1）=1；
f（3）=f（2+1）=f（2）+2[f（1）]2=1+
1
2
，
f（4）=f（3）+
1
2
…，
故f（2013）=f（2012）+
1
2
=f（2011）+
1
2
+
1
2
=…=
1
2
×2013=
2013
2
．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（
1
2
，2）
B、（-2，1）
C、（-1，2）
D、（-1，
1
2
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意兩個(gè)自變量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
9
+
y2
8
=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作一直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．求△ABF2面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-alnx+
2a2
x
+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=
1
2
x垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≥-e-4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在運(yùn)用計(jì)算機(jī)（器）作函數(shù)圖象時(shí)，經(jīng)常用到“符號(hào)函數(shù)”S（x）=
1，x≥0
0，x＜0.
例如要表示分段函數(shù)g（x）=
x，x＞2
-x，x＜2
，可以將g（x）表示為g（x）=x•S（x-2）+（-x）•S（2-x）輸入計(jì)算機(jī)，則計(jì)算機(jī)就會(huì)畫出函數(shù)g（x）的圖象．設(shè)f（x）=（-x2+4x-3）•S（x-1）+（x2-1）•S（1-x）（x≠1）．
（1）請(qǐng)把函數(shù)y=f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的大致圖象；
（3）設(shè)F（x）=f（x+k），是否存在實(shí)數(shù)k，使得F（x）為奇函數(shù)？若存在，寫出滿足條件的k值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程x3-
9
2
x2+6x-a=0有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），求數(shù)列{
1
bn
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=lnx，若對(duì)所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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