Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，且直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．

（1）求的值；

（2）若橢圓左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且位于第一象限，在線段上．

①若和的面積分別為，問(wèn)是否存在這樣的直線使得？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②直線與直線交于點(diǎn)，連結(jié)，記直線的斜率分別為，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①不存在滿足條件的直線，理由詳見解析；②詳見解析．

【解析】

（1）利用直線與圓相切可構(gòu)造方程求得；

（2）由（1）得到橢圓方程和坐標(biāo)；

①將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得到韋達(dá)定理的形式，同時(shí)根據(jù)位于第一象限可構(gòu)造不等式組求得的范圍；利用可構(gòu)造方程求得，可知所求不滿足所求范圍，知直線不存在；

②利用三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線可利用表示出，同韋達(dá)定理一起代入，整理可得定值.

（1）由題意知：直線與圓相切，

圓心到直線的距離，；

（2）由（1）知：橢圓方程為，則，，

①易知直線的斜率不為零，設(shè)直線，，，

則將直線與橢圓聯(lián)立整理得：，

，解得：；

，即，解得：或，

這與不符，所以不存在滿足條件的直線；

②設(shè)，由三點(diǎn)共線知：，

由三點(diǎn)共線知：，，，

，

由①知：，

，則為定值.