Question

【題目】如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為. 點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，以為坐標(biāo)的動點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；

（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)和，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．

（3）已知曲線的軌跡為橢圓，研究曲線的對稱性，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），（2）時，四邊形的面積最大值為.（3）

【解析】

（1）由圓半徑為圓心到切線距離得圓半徑，從而得圓方程，由表示出點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程可得曲線的方程．

（2）把方程代入曲線的方程求得的坐標(biāo)，得，同理可得，由得，應(yīng)用整體換元法結(jié)合基本不等式可求得最值（也可變形為，求最值）；

（3）由曲線的方程可得對稱性：關(guān)于直線對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱，求出它與對稱軸的交點(diǎn)即頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，求出，從而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）由題意圓的半徑，

故圓的方程為.

由得，，將代入

得為曲線的方程.

（2）由

得,，

所以，同理.

由題意知 ，所以四邊形的面積.

∵ ，∴ .

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.

∴ 當(dāng)時，四邊形的面積最大值為.

（3） 曲線的方程為，它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對稱，

下面證明：

設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對稱，

同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對稱.

證明：求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，，.

在上取點(diǎn) .

設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則

（因?yàn)?/span>）

.

即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.

若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過程略）.

故曲線是橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.