【題目】設(shè)為奇函數(shù),a為常數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)在時單調(diào)性并證明;
(3)若對于區(qū)間上的每一個x的值,不等式恒成立,求m取值范圍.
【答案】(1)(2)函數(shù)在上為增函數(shù),證明見解析(3)
【解析】
(1)根據(jù)f(x)為奇函數(shù),可得f(x)+f(-x)=0,然后化簡求出a的值;
(2)直接利用作差法證明對且,恒成立即可;
(3)不等式恒成立,只需,求出在[3,4]上的最小值即可得到m的取值范圍.
解:(1)因?yàn)?/span>f(x)是奇函數(shù),所以,
即對定義域內(nèi)的任意x恒成立,
化簡得,所以.
當(dāng)時,真數(shù),不符合題意,
當(dāng)時,為奇函數(shù),
所以a=-1;
(2)由(1)得.設(shè),則
.
下面判斷與1的大小.
因?yàn)?/span>,且,
所以,即.
又,所以,所以.
又,所以,即,
所以函數(shù)在上為增函數(shù);
(3)由已知,得.
由(2)知在上遞增,又在上遞增,
所以在上遞增.
所以,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設(shè) ,則.
∵, ,∴在上單調(diào)遞增,
從而得在上單調(diào)遞增,又∵,
∴當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設(shè),
則 .
∵當(dāng)時, ,∴在上單調(diào)遞增.
又∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
①當(dāng)時, ,即,這時, ;
②當(dāng)時, ,即,這時, .
綜上, 在上的最大值為:當(dāng)時, ;
當(dāng)時, .
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,滿足:
(1)f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù);
(2)對任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同時滿足條件(1)、(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式,并求x∈[0,3]時,f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓,下頂點(diǎn),且離心率.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于, 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,規(guī)定當(dāng)一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低元,根據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購不會超過600件.
(1)設(shè)一次訂購件,服裝的實(shí)際出廠單價為元,寫出函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時,該廠獲得的利潤最大?其最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的離心率,左、右焦點(diǎn)分別為、,直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)當(dāng)直線與橢圓相切,交于點(diǎn),,當(dāng)時,求的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假定小麥基本苗數(shù)與成熟期有效穗之間存在相關(guān)關(guān)系,今測得5組數(shù)據(jù)如下:
(1)以為解釋變量,為預(yù)報變量,畫出散點(diǎn)圖
(2)求與之間的回歸方程
(3)當(dāng)基本苗數(shù)為時預(yù)報有效穗(注:, ),,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并加以證明.
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