已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與軸相切,求圓被直線截得的線段長.
(1);(2).
解析試題分析:(1)先根據(jù)題中的條件確定、的值,然后利用求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)先確定點(diǎn)的坐標(biāo),求出圓的方程,然后利用點(diǎn)(圓心)到直線的距離求出弦心距,最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長.
試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為,由題意知,,解得,
則,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分
(2)由題意可知,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且位于軸正半軸,
又圓與軸相切,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,
不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/1b/1/1kofq4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以, 7分
代入橢圓的方程,可得,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/fd/d/rbxb31.png" style="vertical-align:middle;" />,解得, 10分
所以圓的圓心為,半徑為,其方程為 12分
因?yàn)閳A心到直線的距離 14分
故圓被直線截得的線段長為 16分
考點(diǎn):橢圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、勾股定理
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線:與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且,,四邊形面積S的求最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓方程為,過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個頂點(diǎn),為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),為過點(diǎn)且垂直軸的直線,點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn),點(diǎn)為以為直徑的圓與直線的一個交點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,、分別是橢圓的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),其中在第一象限.過作軸的垂線,垂足為.連接,并延長交橢圓于點(diǎn).設(shè)直線的斜率為.
(Ⅰ)當(dāng)直線平分線段時,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,求點(diǎn)到直線的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
(1)設(shè),證明:;
(2)設(shè)直線AB的方程是,過、兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1時,坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有=+成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)、,若動點(diǎn)滿足.
(1)求動點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線:的距離最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為拋物線的焦點(diǎn),拋物線上點(diǎn)滿足
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),過點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為,連結(jié)、并延長交拋物線于、兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,問是否為定值,若是求出該定值,若不是說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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