【題目】如圖,在長方體中,點是棱的中點,點 在棱上,且(為實數(shù)).
(1)求二面角的余弦值;
(2)當(dāng)時,求直線與平面所成角的正弦值的大;
(3)求證:直線與直線不可能垂直.
【答案】(1);(2);(3)見解析.
【解析】分析:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),算出相應(yīng)向量的坐標(biāo),利用垂直向量的數(shù)量積等于零的方法建立方程組,算出平面對應(yīng)的法向量,之后應(yīng)用平面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值;’
(2)當(dāng)時,可得E,F的坐標(biāo),從而求得的坐標(biāo),進(jìn)而算出的余弦值,再由其為銳角,結(jié)合直線與平面所成角的定義,即可算出直線與平面所成角的正弦值的大小;
(3)假設(shè)直線與直線垂直,根據(jù)向量的數(shù)量積等于零,建立關(guān)于的等量關(guān)系式,化簡可得,由根的判別式小于零得該方程無解,從而得到假設(shè)不成立,從而得到原結(jié)論成立.
詳解:(1)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
則 ,
設(shè)平面的法向量為,
則.即.令,則.
∴平面的一個法向量.又平面的一個法向量為.
故,即二面角的余弦值為.
(2)當(dāng)λ =時,E(0,1,2),F(1,4,0),.
所以.
因為 ,所以為銳角,
從而直線EF與平面所成角的正弦值的大小為.
(3)假設(shè),則.
∵,
∴,.
∴.化簡得.
該方程無解,所以假設(shè)不成立,即直線不可能與直線不可能垂直.
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【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍 .
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,求的值;
(2)當(dāng)時,在區(qū)間上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】在四棱錐中,底面ABCD是矩形,平面ABCD,,E,F(xiàn)是線段BC,AB的中點.
Ⅰ證明:;
Ⅱ在線段PA上確定點G,使得平面PED,請說明理由.
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【題目】某班級共派出個男生和個女生參加學(xué)校運動會的入場儀式,其中男生倪某為領(lǐng)隊.入場時,領(lǐng)隊男生倪某必須排第一個,然后女生整體在男生的前面,排成一路縱隊入場,共有種排法;入場后,又需從男生(含男生倪某)和女生中各選一名代表到主席臺服務(wù),共有種選法.(1)試求和; (2)判斷和的大。),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,與雙曲線x2﹣y2=1的漸近線有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A. + =1
B. + =1
C. + =1
D. + =1
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【題目】數(shù)列{an}的前n項和記為Sn , a1=t,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)當(dāng)t為何值時,數(shù)列{an}為等比數(shù)列?
(2)在(1)的條件下,若等差數(shù)列{bn}的前n項和Tn有最大值,且T3=15,又a1+b1 , a2+b2 , a3+b3成等比數(shù)列,求Tn .
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