Question

【題目】已知平面上一動點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

（1）求點(diǎn)A的軌跡E的方程；

（2）點(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為.

（i）證明直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ii）分別以A，B為圓心作與直線相切的圓，兩圓公共弦的中點(diǎn)為H，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點(diǎn)（ii）存在；點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)動點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)A的坐標(biāo)為，坐標(biāo)對應(yīng)相等，消去參數(shù)t即可.

（2）（i）根據(jù)點(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再分和兩種情況與點(diǎn)A用點(diǎn)斜式方程求解.（ii）根據(jù)圓A，B與直線相切，分別表示圓A，圓B的方程，然后兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，將，坐標(biāo)代入并整理，根據(jù)H是該直線與（i）中直線AB的交點(diǎn)，兩個方程相乘即可.

（1）設(shè)動點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

因為A的坐標(biāo)為，

所以，

消去參數(shù)t得：；

（2）（i）因為點(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，直線AB的方程為；

當(dāng)時，直線AB的斜率為，

所以直線AB的方程為，

整理得，所以直線AB過定點(diǎn)；

（ii）因為A的坐標(biāo)為，且圓A與直線相切，

所以圓A的方程為，

同理圓B的方程為，

兩圓方程相減得，

將，帶入并整理得①，

由（i）可知直線AB的方程為②，

因為H是兩條直線的交點(diǎn)，

所以兩個方程相乘得，

整理得，即點(diǎn)H的軌跡是以為圓心，

為半徑的圓，所以存在點(diǎn)，滿足.