【題目】在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點EF分別是棱C1D1,B1C1的中點,P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點,若AP∥平面BDEF,則線段AP長度的取值范圍是(

A.[,]B.[,]C.[,]D.[]

【答案】B

【解析】

分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N,連接MN,可證平面AMN∥平面BDEF,得P點在線段MN上.由此可判斷當(dāng)PMN的中點時,AP最小;當(dāng)PMN重合時,AP最大.然后求解直角三角形得答案.

如圖所示,分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N,連接MN,連接B1D1

M、N、E、F為所在棱的中點,∴MNB1D1,EFB1D1,

MNEF,又MN平面BDEF,EF平面BDEF,∴MN∥平面BDEF;

連接NF,由NFA1B1,NFA1B1,A1B1AB,A1B1AB,

可得NFABNFAB,則四邊形ANFB為平行四邊形,

ANFB,而AN平面BDEFFB平面BDEF,則AN∥平面BDEF

ANNMN,∴平面AMN∥平面BDEF

P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點,且AP∥平面BDEF,∴P點在線段MN上.

RtAA1M中,AM

同理,在RtAA1N中,求得AN,則△AMN為等腰三角形.

當(dāng)PMN的中點時,AP最小為,

當(dāng)PMN重合時,AP最大為

∴線段AP長度的取值范圍是[,]

故選:B

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