Question

已知f（x）=e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=

n

2

x+m（m，n∈R）且7＜e2＜

15

2

（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-

n

2

，求T（x）在[0，1]上最大值；
（2）若n=4時，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有兩個相等實根，求m的范圍；
（3）若m=-

15

2

，n∈N*，求使f（x）圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數(shù)n．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的零點

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）m=1-

n

2

時，求得導(dǎo)數(shù)T'（x），分n≥0，n＜-2，-2≤n＜0三種情況進行討論，可求得函數(shù)最大值；
（2）n=4時，方程f（x）=g（x）即為e^x=2x+m，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-2x，x∈[0，2]，則問題轉(zhuǎn)化為h（x）與y=m圖象的交點問題，借助導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)最值、單調(diào)性，借助圖象可得m范圍；
（3）問題即為f（x）＞g（x）恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-

n

2

x+

15

2

，由導(dǎo)數(shù)可求得h（x）的最小值h（x）_min=h（ln

n

2

）=

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

，則

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0，令t（x）=x-xlnx+

15

2

（x＞0），用導(dǎo)數(shù)可研究t（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及e²范圍可求得n的最大值；

解答： 解：（1）當m=1-

n

2

時，T（x）=f（x）g（x）=ex(

n

2

x+m)=ex(

n

2

x+1-

n

2

)，
T'（x）=ex(

n

2

x+1-

n

2

)+

n

2

•ex=(

n

2

x+1)•ex，
①當n≥0時，x∈[0，1]時，T'（x）＞0，T（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，T（x）_max=T（1）=e；
②當0＜-

2

n

＜1，即n＜-2時，x∈[0，-

2

n

）時，T'（x）＞0，T（x）遞增；x∈（-

2

n

，1]時，T'（x）＜0，T（x）遞減；
∴x=-

2

n

時T（x）取得極大值，也為最大值，T（x）_max=T（-

2

n

）=-

n

2

•e-

2

n

；
③當-

2

n

≥1，即-2≤n＜0時，x∈[0，1]時，T'（x）≥0，T（x）遞增，
∴T（x）_max=T（1）=e；
綜上，當n≥-2時，T（x）_max=e；當n＜-2時，T（x）_max=-

n

2

•e-

2

n

；
（2）n=4時，方程f（x）=g（x）即為e^x=2x+m，
令h（x）=e^x-2x，x∈[0，2]，則h'（x）=e^x-2，
當x∈[0，ln2）時，h'（x）＜0，h（x）遞減；當x∈（ln2，2]時，h'（x）＞0，h（x）遞增；
∴x=ln2時，h（x）取得極小值，也為最小值，h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2；
又h（0）=1，h（2）=e²-4＞1，∴h（x）_max=e²-4；
∵f（x）=g（x）在[0，2]上恰有兩個相等實根，
∴m=2-2ln2或1＜m≤e²-4．
（3）m=-

15

2

時，f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方，即f（x）＞g（x）恒成立，即ex＞

n

2

x-

15

2

恒成立，
令h（x）=ex-

n

2

x+

15

2

，則h'（x）=ex-

n

2

，令h'（x）=0，得x=ln

n

2

，
當x＜ln

n

2

時，h'（x）＜0，h（x）遞減，當x＞ln

n

2

時，h'（x）＞0，h（x）遞增，
∴x=ln

n

2

時，h（x）取得極小值，也為最小值，h（x）_min=h（ln

n

2

）=

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

，
∵f（x）＞g（x）恒成立，∴

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0，
令t（x）=x-xlnx+

15

2

（x＞0），則t'（x）=-lnx，
當0＜x＜1時，t'（x）＞0，t（x）遞增；當x＞1時，t'（x）＜0，t（x）遞減；
當n=2e²時，t（e²）=e2-e2lne2+

15

2

=-e2+

15

2

，
又7＜e2＜

15

2

，∴t（e²）＞0，由x＞1時t（x）遞減知t（14）＞0，即n=14時，

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0；
而

15

2

-

15

2

ln

15

2

+

15

2

=

30

2

-

15

2

ln

15

2

＜

30

2

-

15

2

lne2=0，即n=15時，

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＜0，
∴滿足條件的最大正整數(shù)n=14．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、單調(diào)性及恒成立問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大，能力要求高．