Question

若定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞-2．
（1）求證：f（x）+2為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（1）=-1，f（log₂m）＜2，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）要判斷函數(shù)的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．現(xiàn)在要判斷f（x）+2的奇偶性即就是判斷[f（x）+2]+[f（-x）+2]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=-2；然后令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）+2，證出即可；
（2）要判斷函數(shù)的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個(gè)x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）先求出f（4）=2，再構(gòu)造不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2成立，
令x₁=x₂=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）+2，
∴f（0）=-2，
令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）+2，
∴f（-x）+2=-[f（x）+2]，
∴f（x）+2為奇函數(shù)．
（2）由（1）知，f（x）+2為奇函數(shù)，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+2=f（x₂）-[f（x₁）+2]=f（x₂）-f（x₁）-2．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞-2，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+2＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，且f（1）=-1，
∴f（2）=f（1）+f（1）+2，
∴f（2）=0，
∴f（4）=f（2）+f（2）+2=2，
∵f（log₂m）＜2=f（4），且f（x）是R上的增函數(shù)，
∴

m＞0 log2m＜4

解得0＜m＜16
∴m的取值范圍為（0，16）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生掌握判斷函數(shù)奇偶性能力和判斷函數(shù)增減性的能力，靈活運(yùn)用題中已知條件的能力，屬于中檔題