【題目】函數(shù)f(x)=lnx+ ,g(x)=ex﹣ (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R).
(Ⅰ)求證:|f(x)|≥﹣(x﹣1)2+ ;
(Ⅱ)已知[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[1.9]=1,[﹣2.1]=﹣3,若對(duì)任意x1≥0,都存在x2>0,使得g(x1)≥[f(x2)]成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ) (x>0).
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,
即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為 ,
所以 ,
又 ,且當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,
所以, .
(Ⅱ)記當(dāng)x≥0時(shí),g(x)的最小值為g(x)min,當(dāng)x>0時(shí),[f(x)]的最小值為[f(x)]min,
依題意有g(shù)(x)min≥[f(x)]min,
由(Ⅰ)知 ,所以[f(x)]min=0,則有g(shù)(x)min≥0,g'(x)=ex﹣x﹣a.
令h(x)=ex﹣x﹣a,h'(x)=ex﹣1,
而當(dāng)x≥0時(shí),ex≥1,所以h'(x)≥0,
所以h(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以h(x)min=h(0)=1﹣a.
①當(dāng)1﹣a≥0,即a≤1時(shí),h(x)≥0恒成立,即g'(x)≥0,
所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以 ,
依題意有 ,解得 ,
所以 .
②當(dāng)1﹣a<0,即a>1時(shí),因?yàn)閔(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),且h(0)=1﹣a<0,
若a+2<e2,即1<a<e2﹣2,則h(ln(a+2))=a+2﹣ln(a+2)﹣a=2﹣ln(a+2)>0,
所以x0∈(0,ln(a+2)),使得h(x0)=0,即 ,
且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h(x)<0,即g'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)>0,即g'(x)>0,
所以,g(x)在(0,x0)上是減函數(shù),在(x0,+∞)上是增函數(shù),
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,所以0<x0≤ln2.
由 ,可令t(x)=ex﹣x,t'(x)=ex﹣1,當(dāng)x∈(0,ln2]時(shí),ex>1,所以t(x)在(0,ln2]上是增函數(shù),
所以當(dāng)x∈(0,ln2]時(shí),t(0)<t(x)≤t(ln2),即1<t(x)≤2﹣ln2,
所以1<a≤2﹣ln2.
綜上,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù) (x>0).求出函數(shù)的最小值,利用二次函數(shù)的性質(zhì)推出結(jié)果.(Ⅱ)記當(dāng)x≥0時(shí),g(x)的最小值為g(x)min,當(dāng)x>0時(shí),[f(x)]的最小值為[f(x)]min,題目轉(zhuǎn)化為g(x)min≥[f(x)]min,h(x)=ex﹣x﹣a,h'(x)=ex﹣1,通過求解導(dǎo)數(shù),①當(dāng)a≤1時(shí),求出 ,②當(dāng)a>1時(shí),利用h(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),推出 ,轉(zhuǎn)化求出 ,轉(zhuǎn)化求解1<a≤2﹣ln2.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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【題目】已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=x,則圓C上任取一點(diǎn)A到直線l的距離小于1的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求證:{ + }為等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=(3n﹣1) an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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若近似符合以下三種函數(shù)模型之一: === .
(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取其中你認(rèn)為最適合的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式;
(2)因遭受某國對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響,2015年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2015年的年產(chǎn)量.
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【題目】某個(gè)服裝店經(jīng)營某種服裝,在某周內(nèi)獲純利y(元)與該周每天銷售這些服裝件數(shù)x之間有如下一組數(shù)據(jù):
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
已知=280, yi=3 487,
(1)求;
(2)求純利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程;
(3)每天多銷售1件,純利y增加多少元?
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