Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個極值點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂），①求實(shí)數(shù)a的范圍；②證明：$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）①已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx+1有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂可化為f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$=0有兩個不同的正根x₁，x₂，從而解得a的范圍；
②由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{1}{2}$a，從而a=2x₂（1-x₂），代入化簡可得f（x₁）=（x₁-1）²+alnx₁-1=x₂²+2x₂（1-x₂）ln（1-x₂）-1（$\frac{1}{2}$＜x₂＜1），$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₂+2（1-x₂）ln（1-x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$（$\frac{1}{2}$＜x₂＜1）令h（t）=t+2（1-t）ln（1-t）-$\frac{1}{t}$，（$\frac{1}{2}$＜t＜1），求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明上式成立．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2x+2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-2+$\frac{2}{x}$，
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，切點(diǎn)為（1，-1），
即有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x-1），
即為2x-y-3=0；
（2）①函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，
∵函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx+1有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-8a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得，0＜a＜$\frac{1}{2}$；
②證明：由（1）知，
x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{1}{2}$a，則a=2x₂（1-x₂），
因此，f（x₁）=（x₁-1）²+alnx₁-1
=x₂²+2x₂（1-x₂）ln（1-x₂）-1（$\frac{1}{2}$＜x₂＜1），
$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₂+2（1-x₂）ln（1-x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$（$\frac{1}{2}$＜x₂＜1），
令h（t）=t+2（1-t）ln（1-t）-$\frac{1}{t}$，（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
則h′（t）=1+2[-ln（1-t）-1]+$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{1-{t}^{2}}{{t}^{2}}$-2ln（1-t），
∵$\frac{1}{2}$＜t＜1，∴1-t²＞0，ln（1-t）＜0，
∴h′（t）＞0，
即h（t）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，
則h（t）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了根與系數(shù)的關(guān)系，化簡比較繁瑣，注意要細(xì)心，屬于難題．