Question

11．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且對(duì)于任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*）
（1）求a₂，b₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，且對(duì)于任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，令n=2，2+a₂=2²a₂，解得a₂．由數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*），可得b₂=a₁+b₁．
（2）對(duì)于任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，可得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．再利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：（1）a₁=2，且對(duì)于任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴2+a₂=2²a₂，解得a₂=$\frac{2}{3}$．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*），
∴b₂=a₁+b₁=2+1=3．
（2）∵對(duì)于任意正整數(shù)n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
∴a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}•\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×2
=$\frac{4}{n（n+1）}$．
當(dāng)n=1，2時(shí)也成立，
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“累乘求積”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．