Question

4．已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦距2c=6，一條準線方程為x=2
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C的漸近線與圓（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，求實數(shù)r的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=3，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，解得a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即可得到雙曲線的方程；
（2）求得漸近線方程，由直線和圓相切的條件：d=r，運用點到直線的距離公式，計算即可得到r．

解答 解：（1）焦距2c=6，一條準線方程為x=2，
可得c=3，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得c=3，a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）雙曲線C的漸近線為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由漸近線與圓（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，
可得圓心（3，0）到漸近線的距離為r，
即d=$\frac{|\frac{3\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=r，可得r=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運用，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于基礎題．