Question

14．若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則稱函數(shù)f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“優(yōu)美函數(shù)”的是（　�。�

• A． f（x）=e^x+e^-x
• B． f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$
• C． f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）
• D． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 由題意知“優(yōu)美函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性能確定正確選項．

解答 解：∵函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
則稱函數(shù)f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”，
∴“優(yōu)美函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，
在A中，f（x）=e^x+e^-x是偶函數(shù)，故A不是“優(yōu)美函數(shù)”；
在B中，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是增函數(shù)，故B不是“優(yōu)美函數(shù)”；
在C中，f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，故C是“優(yōu)美函數(shù)”；
在D中，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$是增函數(shù)，故D不是“優(yōu)美函數(shù)”．
故選：C．

點評 本題考查“優(yōu)美函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，解題的關(guān)鍵是判斷出“優(yōu)美函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，解題時要注意函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的合理運用．