Question

己知命題p：橢圓

x2

10-m

+

y2

m-2

=1，長軸在y軸上．
（Ⅰ）若橢圓焦距為4，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）命題q：關(guān)于x的不等式x²-2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：（Ⅰ）利用橢圓焦距為4，長軸在y軸上，直接求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）先求命題p和命題q為真時m取值范圍，再根據(jù)復合命題真值表判斷命題p、q一真一假，分p真q假時和p假q真時兩種情況求解．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓焦距為4，長軸在y軸上，∴4=（m-2）-（10-m），解得m=8．
（Ⅱ）命題p為真時，m-2＞10-m＞0⇒10＞m＞6；
命題q為真時，△=4-4m＜0⇒m＞1；
若“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，由復合命題真值表得，p、q一真一假，
若p真q假時，則

10＞m＞6 m≤1

⇒m∈∅；
若p假q真時，則

m≤6或m≥10 m＞1

⇒1＜m≤6或m≥10；
綜上實數(shù)m的取值范圍是1＜m≤6或m≥10．即m∈（1，6]∪[10，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了橢圓的標準方程，不等式的恒成立問題，要求熟記復合命題真值表．