Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

4-v

+

y2

1-v

=1(1＜v＜4)有公共焦點，過橢圓C的右頂點B任意作直線l，設直線l交拋物線y²=2x于P、Q兩點，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在橢圓C上，是否存在點R（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點M、N，且△OMN的面積最大？若存在，求出點R的坐標及對應的△OMN的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）先確定c，利用橢圓C與雙曲線共焦點，知a²-b²=3，設直線l的方程為x=ty+a，代入y²=2x，利用OP⊥OQ，即可求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意可知：當且僅當∠AOB=90°時，△AOB的面積取得最大值，得出m，n滿足的關系式，與m²+4n²=4聯(lián)立解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵1＜v＜4，
∴雙曲線的焦點在x軸上，設F（±c，0），
則c²=4-v+v-1=3，
由橢圓C與雙曲線共焦點，知a²-b²=3，
設直線l的方程為x=ty+a，代入y²=2x，可得y²-2ty-2a=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2a，
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=a²-2a=0，
∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）在△MON中，S_△OMN=

1

2

|OM||ON|sin∠MON=

1

2

sin∠MON
當∠MON=90°時，sin∠MON有最大值

1

2

，
此時點O到直線L的距離為d=

1

m2+n2

=

2

2

．
∴m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，
聯(lián)立

m2+n2=2 m2+4n2=4

，
解得m²=

4

3

，n²=

2

3

，此時點R（

2 3

3

，±

6

3

）或（-

2 3

3

，±

6

3

），△MON的面積為

1

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的求解，考查學生分析解決問題的能力，正確表示三角形的面積是關鍵．