【題目】如圖,公園有一塊邊長為的等邊的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中把草坪分成面積相等的兩部分,在上,在上.
(1)設(shè)(),,求用表示的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,的位置應(yīng)在哪里?如果是參觀線路,則希望它最長,的位置又應(yīng)在哪里?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)為中線或中線,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)在中,利用余弦定理有,依題意,即,,由此求得;(2)如果是水管,利用基本不等式可求得最小值為,此時(shí),即,且時(shí),最短.如果是參觀線路,注意到在時(shí)值相等,根據(jù)對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)可知最大值為
試題解析:
(1)在中,,即,①
又,即,∴,②
②代入①得:(),∴().
(2)如果是水管,,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立,故,
即,且時(shí),最短;
如果是參觀線路,記,求導(dǎo)可知函數(shù)在上遞減,在上遞增,
故,∴,
即為中線或中線時(shí),最長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果y=f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,存在實(shí)數(shù)a使得f(x+a)=f(﹣x)成立,則稱此函數(shù)具有“P(a)性質(zhì)”.給出下列命題:
①函數(shù)y=sinx具有“P(a)性質(zhì)”;
②若奇函數(shù)y=f(x)具有“P(2)性質(zhì)”,且f(1)=1,則f(2015)=1;
③若函數(shù)y=f(x)具有“P(4)性質(zhì)”,圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱,且在(﹣1,0)上單調(diào)遞減,則y=f(x)在(﹣2,﹣1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增;
④若不恒為零的函數(shù)y=f(x)同時(shí)具有“P(0)性質(zhì)”和“P(3)性質(zhì)”,函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).
其中正確的是 (寫出所有正確命題的編號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓過點(diǎn),直線交軸于,且,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn),過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為,且,證明:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),(1)求的值;(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù),使對(duì)一切恒成立,若存在,試求出取值的集合;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),點(diǎn)分別在的圖象上.
(1)若函數(shù)在處的切線恰好與相切,求的值;
(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為,記,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列中,已知,且依次成等比數(shù)列.數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列, 的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處,并以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛,假設(shè)該小船沿直線方向以海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇.
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向與航行速度的大。,使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,公園有一塊邊長為2的等邊三角形的地,現(xiàn)修成草坪,圖中把草坪分成面積相等的兩部分, 在上, 在上.
(1)設(shè), ,請(qǐng)將表示為的函數(shù),并求出該函數(shù)的定義域;
(2)如果是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短, 的位置應(yīng)在哪里?如果是參觀線路,則希望它最長, 的位置又應(yīng)在哪里?請(qǐng)予以說明.
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