【題目】某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處,并以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛,假設該小船沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少?
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設計航行方案(即確定航行方向與航行速度的大。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇,并說明理由.
【答案】(1)當t=時,Smin=10,此時v==30
(2)航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時,小艇能以最短時間與輪船相遇.
【解析】試題分析:(1)設相遇時小艇的航行距離為海里,則由余弦定理得,再由二次函數(shù)的性質求得最值;(2)根據(jù)題意,要用時最小,則首先速度最高,即為海里/小時,然后是距離最短,則,解得,再解得相應角.
試題解析:(1)設相遇時小艇的航行距離為海里,
則
故當時,
即小艇以海里/小時的速度航行,相遇小艇的航行距離最小
(2)
設小艇與輪船在處相遇.
則,
故
∵,
∴,即,解得
又時, ,
故時, 取得最小值,且最小值等于
此時,在中,有,
故可設計航行方案如下:
航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校1800名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與18秒之間,抽取其中50個樣本,將測試結果按如下方式分成五組:第一組,第二組,第五組,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若成績小于15秒認為良好,求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù);
(2)請估計學校1800名學生中,成績屬于第四組的人數(shù);
(3)請根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,公園有一塊邊長為的等邊的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中把草坪分成面積相等的兩部分,在上,在上.
(1)設(),,求用表示的函數(shù)關系式;
(2)如果是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,的位置應在哪里?如果是參觀線路,則希望它最長,的位置又應在哪里?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高二(1)班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如下,且將全班25人的成績記為由右邊的程序運行后,輸出.據(jù)此解答如下問題:
(Ⅰ)求莖葉圖中破損處分數(shù)在[50,60),[70,80),[80,90)各區(qū)間段的頻數(shù);
(Ⅱ)利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學測試成績的眾數(shù),中位數(shù)分別是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中, 以坐標原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系, 已知點的極坐標為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).
(1)直線過且與曲線相切, 求直線的極坐標方程;
(2)點 與點關于軸對稱, 求曲線上的點到點的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】通過研究學生的學習行為,心理學家發(fā)現(xiàn),學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間,講座開始時,學生的興趣激增,中間有一段不太長的時間,學生的興趣保持理想的狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散,分析結果和實驗表明,用表示學生掌握和接受概念的能力(的值越大,表示接受能力越強),表示提出和講授概念的時間(單位:分),可以有以下公式: .
(1)開講多少分鐘后,學生的接受能力最強?能維持多少分鐘?
(2)開講5分鐘與開講20分鐘比較,學生的接受能力何時強一些?
(3)一個數(shù)學難題,需要55的接受能力以及13分鐘的時間,老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(A)已知, , ,且函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值;
(2)若, , , ,求的值.
(B)已知, , ,且函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的解析式;
(2)若關于的方程,在內有兩個不同的解, ,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列中,,且對任意的成等比數(shù)列,其公比為.
(1)若,求;
(2)若對任意的成等差數(shù)列,其公差為.設.
①求證:成等差數(shù)列并指出其公差;
②若,試求數(shù)列的前項和.
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