Question

【題目】已知函數(shù)滿足，，．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)且時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由已知中，可得，進(jìn)而可得，，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；

（2）由（1）得：，即，，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得不同情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）令，，然后利用導(dǎo)數(shù)研究各自單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分類去掉和的絕對(duì)值，再構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明大小.

（1）∵，

∴，

∴，

即，

又∵，

所以，

所以；

（2）∵，
∴，

∴，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（3）令，，當(dāng)且時(shí)，

由得在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

而，，

所以在上單調(diào)遞增，，

則在上單調(diào)遞增，，

①當(dāng)時(shí)，，

，所以在上單調(diào)遞減，

，，

②當(dāng)時(shí)，，

，，

所以，所以遞減，，，

綜上， ．